JMO2011 予選
1
1以上9以下の整数の組(a,b,c,d)であって、0
2
2011以下の正の整数のうち、mod3で1になるものの総和-2になるものの総和を求めよ。
(1-2)+(4-5)+…+(2008-2009)+2011。1341
3
相異なる7以下の自然数a,b,c,d,e,f,gを用いてa*b*c*d+e*f*gと表せる素数をすべて求めよ。
2,4,6は+に対して同じ側。3,6もまた然り。だから2*3*4*6が必要。残りは1*5*7。計算すると179で、これは素数。179
4
中心Oの扇形OABがあり、その弧の上に点Pがある。点Qは直線POと直線ABの交点である。AQ=5、BQ=6、OQ=PQのとき、扇形の半径を求めよ。
余弦定理とかでごにょごにょやっても解けるけど方冪の定理で一発らしい。√40
6
めんどうなのと合ってる気がしないので略。
7
3x3の升目があり、各マスにはそれぞれ異なる1〜9の整数が書かれている。各列のメジアンをとって、3つのメジアンに対してまたメジアンをとったら5になった。最初の配置は何通り考えられるか。
表を、上の列から順にa,b,c、d,e,f、g,h,iだとして、今勝手にa
8
2桁の自然数x,yがあって、xの十の位=yの一の位、xの一の位=yの十の位らしい。P=xyとするとPは4桁で、下2桁の数は上2桁の数より23大きい。Pを求めよ。
x=10a+b、y=10b+aとすると、P=(10a+b)(10b+a)=101ab+10(a^2+b^2)になる。また、P=101k+23と書けるので、10(a^2+b^2)≡23(mod 101)になる。よって、(a,b)=(8,3),(3,8)となるので、Pは3154
9
赤青黄の玉合わせて12個を並べる。どの玉に対しても隣に同じ色の玉がないといけない。何通りの並べ方があるか
同じ色のかたまりが何通りあるかで場合分け。2049
10
関数fは正の整数に対して定義され、正の整数値をとる。∀x,y∈N (x+y)f(x)<=x^2+f(xy)+110 が成り立つとき、f(23)+f(2011)の最小値、最大値を求めよ。
与式にy=1を代入して、(x+1)f(x)<=x^2+f(x)+110すなわちf(x)<=x+110/xを得る。これを用いて、与式より(x+y)f(x)<=x^2+f(xy)+110<=xy+110/xy+x^2+110が成り立つ。
ここで、変形して0<=y(x-f(x))+110/xy+x^2+110-xf(x)がいつでも成り立つが、x-f(x)>0だとy→∞において不成立になる。よってf(x)<=x。
ゆえにf(1)=1がわかる。与式にx=1を代入して、(1+y)f(1)<=f(y)+111が成り立つので、f(1)=1よりy-110<=f(y)が成り立つ。
よって、x-110 <= f(x) <= xが成り立つ（1 <= f(x)も成り立つ）。
さらに、関数f(x)=xは題意を満たす。また、関数f(x)=max(1,x-110)は、
(x+y)f(x) <= (x+y)x <= x^2+(xy-110)+110 <= x^2+f(xy)+110 となるので、題意を満たす。
以上より、最小値をとるf(x)はf(x)=max(1,x-110)で、このときf(23)+f(2011)=1+1901=1902。最大値をとるf(x)はf(x)=xで、このときf(23)+f(2011)=23+2011=2034。よって、最小値、最大値は1902、2034
11,12
よくわからない
まとめ
コンピュータで検算できる問題(1,2,3,5,7,8,9)は確かめて正しいことを確認済み。多分8完以上だから通る。通らなかったら泣く
4とか10とかはこの解答が正しい保証はありません。
