JMOは銀でした

ようやく（捏造じゃない）結果きた。
どうやら銀らしいです。今回メダル多い（金２銀２銅３）
これで安心して参加記っぽいのが書ける

1

幾何。模範解答には初等幾何による方法が書いてあるけど、ベクトル使えば一発

2

a^n - 1 = (a^p - 1)(a^q - 1)(a^r - 1)なるa,n,p,q,rの組をすべて求めよ。

分野「やるだけ」かも。いろんな場合について網羅して調べる。

3

横長のマス目があって、最初にA君がそれぞれのマスに非負整数を書きこむ。「A君が非負整数を指定→B君がどこかにその数を上書きする」という行為を繰り返して、マス目が左から順に広義単調増加になったら終了。B君はA君がなにしようとも終了させることができるか？

できる。
数学的帰納法で、まずマス目が1つの場合は自明。2つ以上の場合は、一番右のマスを除いて単調増加にする（帰納法より可能）。A君が言ってきた数を、その単調増加を崩さないように、かつ書き換えたところ数が小さくなるようにうまく書きこむ。一番右のマスには、その左のマス以上の数字を言われたらそこに書く。そうしたら終了。
A君はB君の妨害をするとする。すると、一番右のマスに書き込まれるようには書けない。しかし、そうでない場合は数はどんどん減っていく。いつかは全部0になってしまう（非負整数）。そうしたら何を言っても一番右のマスに書かれてしまう。よって、B君はゲームを終了させることができる。

4

関数方程式。謎

5

どの3点も一直線上にない異なる4点があり、どの3点を結んで三角形をつくっても内接円の半径は同じになった。三角形はみんな合同であることを示せ。

「三角形が2つあって合同じゃなくて片方がもう片方に含まれてるとき、内接円の半径が同じなわけないよね」という事実を使った。無証明でやったけどよくなかったかも。模範解答には補題として証明が書いてあった。
まず凸四角形ができることを示す。そうしたら、その凸四角形の対角線の長さが等しいことも示せる。その後、角の比較をして、さらに角と角の積とかそういう意味不明なものを使って、符号を見て>=0と<=0だから0だなーってやって、等脚台形だーってなって、さらに比較して平行四辺形だーってなって、あれこれ長方形じゃないの、で示した。どんぐらい点数もらえたんだろう