JMO 2012 本選4番

問題はJMOのページにあります。
試験中2時間ぐらい考える時間あったのに解けなかったが、よく考えるとすごい簡単に記述できる解答があった…

円O₁の半径をr₁、円O₂の半径をr₂とする。すると、XO₁=AO₁=r₁、XO₂=BO₂=r₂である。
点Mを線分O₁O₂の中点とする。
すると、中線定理より、XM²=1/2*(XO₁)²+1/2*(XO₂)²-(O₁M)²である。
同様に、PM²=1/2*(PO₁)²+1/2*(PO₂)²-(O₁M)²である。
ゆえに、2(XM²-PM²)=r₁²+r₂²-(PO₁)²-(PO₂)²である。
一方、点Pから円O₁への方べきを考えると、(PO₁)²=PA・PC+r₁² (但し、PA・PCは、向き付きの長さで考える) になる。同様に、(PO₂)²=PB・Pd+r₂²である。
ゆえに、2(XM²-PM²)=-PA・PC - PB・PD=0 (題意より)であるから、XM=PMが示された。
同様にYM=PMも示されるので、点Mは△PXYの外心であることが示され、題意が示された。
Q.E.D.